pdf версия (для печати, обе стороны листа: meta-pk.pdf, нечетная сторона: meta-1-pk.pdf, четная сторона: meta-2-pk.pdf. pdf версия (для инета) meta.pdf

Содержание

1  Системы линейных алгебраических уравнений
    1.1  Методы решения СЛАУ
2  Прямая на плоскости в в пространстве
Index

1  Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений выглядит примерно так:
Для удобства восприятия удобно её записывать в "отформатированном виде":
Пример 1 Вот красиво записанная система уравнений.
Решением системы уравнений называются такие числа, которые после подстановки превращают все уравнения в верные равенства.
Пример 2 Числа (1;2;3) т.е. x=1, y=2, z=3 есть решение системы из примера 1. Действительно, после подстановки
и вычислений получим верные равенства.

1.1  Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Основной метод решения - метод исключения неизвестных. Его суть в многократном применении заклинания
Выразить одну неизвестную из одного уравнения и подставить в остальные уравнения.

Пример 3 Решим систему из примера 1. Сначала выразим y из первого уравнения
y=−3 + 2·x + z
и подставим во второе:
и третье
В результате получим систему с меньшим числом неизвестных
(1)
и формулу для нахождения "выраженной" неизвестной
y=−3 + 2·x + z .
(2)
Теперь применим метод исключения неизвестных к системе (1). Выразим x из первого уравнения
x=10 − 3·z
и подставим в оставшееся уравнение:
и в формулу (2) для "выраженной" неизвестной
y = −3 + 2 ·(10 −3·z) + z = −3+20 −6·z + z = 17 − 5·z.
Получилась совсем простая система из одного уравнения с одной неизвестной
и две формулы для нахождения двух исключенных неизвестных
Осталось "выразить" значение z=3 и, "подставив" в формулы для нахождения x и y, найти значения y=2 и x=1.

2  Прямая на плоскости в в пространстве

В природе существует множество разнообразных уравнений прямой, но наиболее полезно из них так называемое параметрическое уравнение прямой
Оно похоже на подпрограмму симулирующую полет самолетика в компьютерной игрушке - на вход подаем время - на выходе получаем координаты самолетика в этот момент времени.
Для написания уравнения конкретной прямой надо знать две вещи - какую-нибудь точку на прямой (точнее, координаты точки) и какой-нибудь вектор параллельный прямой (точнее, координаты вектора).
Если эта точка (x1;y1;z1) и вектор (α;β;γ), то параметрическое уравнение выглядит так:
(3)
Буква t в этом уравнении это так называемый параметр - в него можно подставлять время.
При t=0 самолетик находится в точке (x1;y1;z1), при положительных значениях t - перелетает по направлению вектора (α;β;γ), при отрицательных - наоборот.
Сама прямая это как бы след оставленный этим самолетиком в небе.
Аналогично определяется параметрическое уравнение прямой на плоскости
(4)
где (x1;y1) - точка через которую продет автомобильчик, (α;β) - вектор параллельный направлению движения автомобильчика, а сама прямая - след автомобильчика на плоскости.
Упражнение 1 Найдите параметрическое уравнение прямой, которая проходит через точку (1; 2) и параллельна вектору (3; 4). Ответ:
Заметим, что поскольку можно брать любую точку на прямой и любой вектор параллельный прямой, то у одной прямой может быть несколько разных уравнений.
Пример 4 [Одна прямая и два уравнения] Рассмотрим два уравнения
(5)
и
(6)
Оказывается, эти уравнения задают одну и ту же прямую. Для того, что бы в этом убедиться сначала извлечем из уравнений информацию про точки и вектора. Из первого уравнения достанем точку (1;2) и вектор (3;1). Из второго точку (10;5) и вектор (−6;−3).
Поскольку вектор (−6;−3) можно получить из (3;1) умножением на число −2, эти прямые параллельны.
А так как при подстановке в первое уравнение числа 3 в параметр t получается точка (10;5), получается, что у этих прямых есть общая точка.
Следовательно, эти прямые совпадают.
Пример 5 [прямая по двум точкам] Даны две точки, A=(1;2) и B=(3;7)
Требуется найти уравнение прямой проходящей через эти точки.
Вспомним, (см. раздел 2) что нам понадобится точка на прямой (она у нас есть) и вектор, параллельный прямой (подойдет AB=(3−1;7−3)=(2;4)). Итак, записываем:
Пример 6 [про столкновение автомобилей] Уравнения движения двух автомобилей задаются двумя формулами
и
Определить, столкнутся ли они.
Столкновение - это когда два автомобиля находятся в одно время в одном месте. Для решения достаточно соединить два уравнения в одну систему
и решить её.
Получится x=4, y=3, t=1. Т.е. они столкнутся в точке (4;3) в момент времени 1.
Аналогичная задача:
Уравнения движения двух автомобилей задаются двумя формулами
и
Соединив два уравнения в одну систему
обнаружим, что у неё нет решения. Следовательно, эти автомобильчики не столкнутся.
Пример 7 [Задача про пересечение прямых] Даны уравнения двух прямых
и
найти точку пересечения.
Будем считать, что это уравнения движения двух автомобильчиков и будем искать точку пересечения их траекторий.
Точка пересечения траекторий - это когда два автомобиля находятся в одном месте но не обязательно в одно время. (Время разное, и этим задача о пересечении отличается от задачи о столкновении. См. пример 6).
Для решения мы обозначим время в уравнениях движения разных автомобильчиков разными буквами
и
и соединим их в одну систему:
Решив её, получим x=7, y=4, α = 2, β = 1.
Таким образом, точка пересечения прямых - (7;4). Если представлять эти прямые как траектории автомобильчиков, то мы также узнали, что первый автомобильчик был в этой точке в момент времени 2 а второй в момент времени 1.
Упражнение 2 Первая прямая проходит через точки (9; −1; 10) и (11; 0 ;12). Вторая прямая проходит через точки (3; −4; 9) и (3; −4; 10). Найдите точку пересечения этих прямых. Ответ: (3; −4; 4). Для решения следует найти уравнения прямых так, как это сделано в примере 5. Затем найти точку пересечения как в примере 7

Предметный  указатель (showing section)


метод исключения неизвестных, 1.1

система линейных алгебраических уравнений
     пример, 1.0
     решение, 1.0



File translated from TEX by TTHgold, version 4.00.
On 04 Jan 2017, 18:48.